длина катета AC прямоугольного треугольника ABC равна 8. Окружность с диаметром AC пересекает гипотенузу AB в точке M. Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что AM:MB = 16:9

Примем коэффициент пропор-ти за х

АМ = 16 х МВ = 9 х

Гипотенуза АВ = 16 х+9 х = 25 х

СВ²=9 х*25 х = 225 х² (СВ=15 х)

Из теоремы Пифагора

(25 х) ² = 8²+225 х²

625 х² = 64 + 225 х²

400 х² = 64

х = 8/20 = 2/5

СВ = 15 х = 15 * 2/5 = 6

S = ab/2

S = 8 * 6 / 2 = 24 см²

Треугольник АВС, угол С=90, АС = 8 = диаметру, проводим линию СМ, угол АМС = 90, потому что опирается на диаметр = 1/2 дуги АС=180/2=90

треугольники АВС и АСМ подобны по одному острому углу А

АМ = 16 х, ВМ=9 х, АВ=16 х+9 х=25 х

АВ/АС=АС/АМ, 25 х/8=8/16 х

20 х=8, х=8/20

16 х=32/5

9 х=18/5

АС = 32/5 + 18/5=10

СВ = корень (АВ в квадрате - АС в квадрате) = корень (100-64) = 6

Площадь = 1/2 АС х СВ = 1/2 х 8 х 6 = 24