Гипотенуза АВ равнобедренного прямоугольного треугольника АВС лежит в плоскости "альфа". Угол между плоскостями АВС и "альфа" равен 45 градусов, А ортогональная проекция треугольника АВС на плоскости "альфа" имеет площадь 16 корень из 2 квадратных см. Найти расстояние от точки С до плоскости "альфа"?

В тр-ке АВС из С опустим высоту СД. СД = 0,5 АВ, т. к тр-к АВС равнобедренный.

Проекция тр-ка АВС на пл. альфа является равнобедренным треугольником АВС1 и имеет вершину С1 и высоту С1 Д.

Надо найти СС1.

По условию Sпр = 16sqrt (2) или Sпр = 0,5 АВ * С1 Д

16sqrt (2) = 0,5 АВ С1 Д

АВ * С1 Д = 32sqrt (2)

В тр-ке СДС1 угол СДС1 = 45 гр, поэтому СС1 = С1 Д.

Обозначим СС1 = С1 Д = Н, тогда

гипотенуза СД = sqrt (H^2 + H^2) = H * sqrt (2)

и АВ * Н = 32sqrt (2) - формула 1

выше было показано, что СД = 0,5 АВ, тогда

H * sqrt (2) = 0,5 АВ и

АВ = 2H * sqrt (2)

Подставим полученное в формулу 1:

2H * sqrt (2) * Н = 32sqrt (2)

2H^2 = 32

H^2 = 16

H = 4

Ответ: расстояние от точки С до плоскости альфа СС1 = Р = 4 см