Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12. Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Треугольник АВС, АС = 12 ВМ = высота, медиана, биссектриса на АС, АМ=СМ=6

точка О - центр вписанной окружности в треугольник АВС - пересечение биссектрис треугольника, ОМ = радиус вписанной окружности

точка О1 = центр окружности с радиусом = 8, проводим перпендикуляры О1 К и О1 Н в точки касания, проводим О1 С и О1 А, треугольники АМО1=треугольнику О1 СМ по двум катетам АМ=СМ, О1 М общий, треугольники О1 СК = треугольнику О1 СМ по гипотенузе О1 С и катету О1 К=О1 М = радиусу, треугольник О1 НА=треугольнику О1 МА по катету и гипотенузе (аналогично), угол О1 СМ=углу О1 СК, угол СО1 К=углу СО1 М значит СО1 - биссектриса, СО - тоже биссектриса (см. выше). Биссектрисы внутреннего угла и смежного с ним внешнего угла перпендикулярны, т. е угол ОСО1 = 90 град. Треугольник ОСО1 - прямоугольный.

ОМ / СМ = СМ / О1 М, ОМ / 6 = 6 / 8

36 = ОМ х 8, ОМ = 4,5