В остроугольном треугольнике ABC высоты AA1 и CC1 пересекаются в точке H. Известно что BH=1 и угол AHC=105. найдите радиус окружности описанной около треугольника ABC.

Известно, что отрезок высоты от вершины до ортоцентра (то есть до точки пересечения высот) в два раза больше расстояния от центра описанной окружности до противоположной стороны.

В нашем случае, если из центра O описанной окружности опустить перпендикуляр OD на AC, то OD=OB/2=1/2.

Далее, ∠C_1HA_1=∠AHC=105° как вертикальные, а поскольку

∠BC_1H=∠BA_1H=90°⇒

∠C_1BA_1=360°-90°-90°-105°=75°. Поскольку этот угол является вписанным в описанную вокруг треугольника ABC окружность, а угол AOC - центральным и опирающимся на ту же дугу⇒∠AOC=2·75=150°,

а ∠AOD = (1/2) AOC=75°.

Наконец, ΔAOD прямоугольный, AO гипотенуза, равная радиусу описанной окружности⇒OD/R=cos 75°⇒

R=OD / (cos 45°+30°) = (1/2) / (cos 45°cos 30° - sin 45° sin 30°) =

1 / ((√6-√2) / 2) = 2 (√6+√2) / (6-2) = (√6+√2) / 2

Факт, приведенный в начале решения, слишком интересен сам по себе, чтобы приводить доказательство здесь. Присылайте запрос, и я, когда будет время, докажу этот факт

Треугольники АА1 С и СС1 А - прямоугольные с общей гипотенузой АС. Существует возможность вписать Четырехугольник АС1 А1 С в окружность, диаметром которой будет АС. Так как вписанные углы С1 А1 А ис1 СА опираются на общую дугу АС1, то эти углы равны. Ч. Т. Д.