В кубе abcda1b1c1d1 точка k середина ребра AD, точка L принадлежит CD и CL:LD=2:1. Через точки K, L и D1 проведена плоскость. Найдите угол между плоскостями KLD1 и ABC, а также площадь полученного сечения, если ребро куба равно а.

Пусть A - начало координат

Ось X - AB

Ось Y - AD

Ось Z - AA1

Уравнение плоскости ABC

z=0

Координаты точек

K (0; a/2; 0)

L (a/3; a; 0)

D1 (0; a; a)

Направляющий вектор KL (a/3; a/2; 0)

длина KL = a√ (1/9+1/4) = a√13/6

Направляющий вектор D1K (0; - a/2; - a)

расстояние от D1 до KL - Высота сечения =

|| i j k ||

|| 0 - a/2 - a || / (√13/6) = a √ (19/13)

||a/3 a/2 0 ||

Площадь сечения половина основания на высоту

S=a^2 * √19/12

Уравнение плоскости KLD1

mx+ny+pz+q=0

подставляем координаты точек

an/2+q=0

am/3+an+q=0

an+ap+q=0

Пусть n=2 тогда q = - a m = - 3 p = - 1

-3x+2y-z-a=0

косинус угла между KLD1 и ABC

cos a = 1/1 / √ (9+4+1) = 1/√14