Диагонали прямого параллелепипеда равны 9 см и корень квадратный из 33. Периметр его основания равен 18, боковое ребро равно 4 см, определить полную поверхность и объем параллелепипеда

В основании прямого параллелепипеда - параллелограмм.

Находим диагонали параллелограмма по теореме Пифагора:

d²₁ = (√33) ²-4²=33-16=17 ⇒ d₁=√17

d²₂ = (9) ²-4²=81-16=65 ⇒ d₂=√65

По формуле

2 (a²+b²) = d²₁+d²₂

2 (a²+b²) = 65+17

a²+b²=41

a+b=9 (по условию периметр основания 18, т. е 2 (a+b) = 18)

Из системы двух уравнений методом подстановки

b=9-a

a² + (9-a) ²=41;

a²-9a+20=0

находим стороны

a=5; b=4

По теореме косинусов находим острый угол параллелограмма:

(меньший - острый угол - лежит против меньшей диагонали)

d²₁=a²+b²-2abcosα ⇒ 17=25+16-2·4·5cosα ⇒cosα=0,6

sinα=√ (1-cos²α) = √ (1 - (0,6) ²) = √0,64=0,8

S (параллелограмма) = a·b·sinα=5·4·0,8=16 кв. см.

S (полн) = 2S (осн) + S (бок) = 2·16+18·4=104 кв. см.

V=S (осн) ·H=16·4=64 куб. см