В конус высотой Н и радиусом основания R вписан цилиндр с наибольшей боковой поверхностью. Каковы размеры цилиндра?

Пусть r и h соответственно радиус основания и высота вписанного в конус цилиндра.

Sбок = πrh; r/R = (H-h) / H ⇒r = (R/H) * (H-h).

Sбок = (πR/H) * (H-h) h = (πR/H) * (-h² + Hh) = (πR/H) * (H²/4 - (h - H/2) ²).

Sбок принимает максимальное значения, если h = H/2.

r = (R/H) * (H-H/2) = R/2.