В треугольнике АВС угол В равен 60°, ВС=3 АВ. Около треугольника описана окружность радиуса 8√3 и в него же вписана окружность с центром в точке О. Луч ВО пересекает сторону АС в точке М. Найдите СМ.

АС/sinB=2R ⇒ AC=2R·sinB=2·8√3·√3/2=24.

Центр вписанной в тр-ник окружности лежит на пересечении биссектрис углов; точка О ∈ ВМ, значит ВМ - биссектриса.

По теореме биссектрис АВ/ВС=АМ/СМ ⇒СМ=АМ·ВС/АВ=АМ·3 АВ/АВ=3 АМ.

АС=АМ+СМ=АМ+3 АМ=4 АМ,

АМ=АС/4=24/4=6,

СМ=3·6=18 - это ответ.