В треугольнике АВС точка О-центр вписанной окружности. Найдите длину радиуса окружности, описанной около этого треугольника, если АО=6 см, ВО=10 см, угол С=60 градусов

Находим угол АОВ с учетом того, что АО и ОВ - биссектрисы углов А и В (по свойству центра вписанной окружности) :

АОВ = 180 - (1/2) А - (1/2) В = 180 - ((1/2) (А+В)) = 180 - ((1/2) (180-60) =

= 180-90+30 = 120°.

Зная 2 стороны и угол, находим сторону АВ треугольника АОВ:

АВ = √ (6²+10²-2*6*10*cos120) = √36+100-120 * (-1/2)) = √196 = 14 см.

Зная стороны треугольника АОВ, находим углы А и В (А = 2*ВАО, В = 2*АВО) по теореме синусов.

sin BAO = sin120*10/14 = 0.866025*10/14 = 0.6185896 °.

Угол ВАО = arc sin 0.6185896 = 0.6669463 радиан = 38.213211 °

Угол А = 2 * 38.213211 = 76.426421 °.

sin ВAO = sin120*6/14 = 0.3711537.

Угол ВАО = arc sin 0.3711537 = 0.3802512 радиан = 21.786789 °.

Угол В = 2 * 21.786789 = 43.573579 °.

Зная углы треугольника АВС и одну сторону АВ = 14 см, находим 2 другие по теореме синусов:

ВС = 14*sin A / sin C = 14 * 0.972069 / 0.866025 = 15.71428571 см.

АС = 14*sin В / sin C = 14 * 0.6892855 / 0.866025 = 11.14285714 см.

Находим площадь треугольника АВС по формуле Герона:

S = √ (p (p-a) (p-b) (p-c)) = 75.82141 см ².

Здесь р = (а+в+с) / 2 = 20.428571 см.

Радиус описанной окружности R = abc / 4S = 8.0829038 см.