В прямом параллелепипеде стороны основания равны 7 и 17 см; его диагонали образуют с плоскостью основания углы 45 и 30 градусов. Вычислить высоту параллелепипеда.

Question

Геометрия

Лека

4 апреля, 06:26

В прямом параллелепипеде стороны основания равны 7 и 17 см; его диагонали образуют с плоскостью основания углы 45 и 30 градусов. Вычислить высоту параллелепипеда.

+1

Ответы (1)

Знаете ответ?

Лемира · Answer 1

В основании параллелепипеда - параллелограмм со сторонами АВ=7 см и АD=BC=17 см.

В параллелограмме
По теореме косинусов:

ВD²=АВ²+АD²-2*АВ*АD*CosA. Или ВD²=338-238*CosA.

АС²=АВ²+АD²+2*АВ*АD*CosA. Или АС²=338+238*CosA.

В прямоугольном треугольнике АСС1 угол САС1 при основании равен 30° (дано).

Тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему, то есть СС1/АС=√3/3, а СС1=АС*√3/3.

В прямоугольном треугольнике BDB1 угол BDB1 при основании равен 45° (дано).

Значит BB1=BD. ВВ1=СС1 = Н (высота параллелепипеда).

Н²=BD² (1)

H²=AC² (√3/3) ²=АС² (1/3) (2).

Приравняем (1) и (2) :

338-238*CosA = (1/3) (338+238*CosA). Отсюда

1014-714CosA=338+238CosA и CosA=676/952=169/238.

Тогда из (1) имеем: Н=√ (338-238*169/238) = √ (338-169=13 см.

Ответ: высота параллелепипеда равна 13 см.