В момент t = 0 частица выходит из точки x = 0 с некоторой начальной скоростью. Двигаясь по оси x с постоянным ускорением, частица оказывается в точке с координатой x1 (x1 > 0) в моменты времени t1 и t2. В какой момент скорость частицы станет равной по величине начальной скорости? Какой путь пройдет частица к этому моменту?

уравнение скорости частицы: V=v-at; где v - начальная скорость, a - ускорение. Оно отрицательное, иначе частица не вернулась бы в одну и ту-же точку x1. В одинаковых точках скорость частицы будет отличаться только противоположным направлением, модуль будет одинаковый. Поэтому можно записать:

v-at1=at2-v;

v=0,5a (t2+t1) ;

a=2v / (t2+t1) ; нашли ускорение частицы.

уравнение движения выглядит так:

x=vt-0,5at^2;

Найдём время, когда частица будет в начале координат.

0=vt-0,5at^2; подставим найденное значение ускорения.

0=vt-vt^2 / (t1+t2) ;

0=t-t^2 / (t1+t2) ;

0=t-t^2 / (t1+t2) ;

t^2-t (t1+t2) = 0;

t (t - (t1+t2)) = 0; корень t=0 нас не интересует, это начало движения.

t=t1+t2; Через такое время частица вернётся в исходное положение и её скорость по модулю будет равна начальной.

За это время частица пройдёт путь:

(v (t1+t2) / 2-v / (t2+t1) (t1+t2) ^2/4) * 2 = (v (t1+t2) / 2-v (t1+t2) / 4) * 2=v (t1+t2) / 2;