Среднее расстояние, которое проходит молекула между двумя последовательными соударениями называется средней длиной свободного пробега. Оценить среднюю длину свободного пробега молекулы в воздухе при нормальных условиях (Т=273 К, Р = 10 в 5 степени Па). Диаметр молекул принять равным d = 3,7 х10 в минус десятой степени м.

Под средней длиной свободного пробега понимают среднее расстояние, которое проходит молекула между двумя последовательными соударениями. За секунду молекула в среднем проходит расстояние, численно равное ее средней скорости. Если за это же время она испытает в среднем столкновений с другими молекулами, то ее средняя длина свободного пробега, очевидно, будет равна

(3.1.1)

Предположим, что все молекулы, кроме рассматриваемой, неподвижны. Молекулы будем считать шарами с диаметром d. Столкновения будут происходить всякий раз, когда центр неподвижной молекулы окажется на расстоянии меньшем или равном d от прямой, вдоль которой двигается центр рассматриваемой молекулы. При столкновениях молекула изменяет направление своего движения и затем движется прямолинейно до следующего столкновения. Поэтому центр движущейся молекулы ввиду столкновений движется по ломаной линии (рис. 1).

рис. 1

Молекула столкнется со всеми неподвижными молекулами, центры которых находятся в пределах ломаного цилиндра диаметром 2d. За секунду молекула проходит путь, равный. Поэтому число происходящих за это время столкновений равно числу молекул, центры которых попадают внутрь ломаного цилиндра, имеющего суммарную длину и радиус d. Его объем примем равным объему соответствующего спрямленного цилиндра, т. е. равным Если в единице объема газа находится n молекул, то число столкновений рассматриваемой молекулы за одну секунду будет равно

(3.1.2)

В действительности движутся все молекулы. Поэтому число столкновений за одну секунду будет несколько большим полученной величины, так как вследствие движения окружающих молекул рассматриваемая молекула испытала бы некоторое число соударений даже в том случае, если бы она сама оставалась неподвижной. Предположение о неподвижности всех молекул, с которыми сталкивается рассматриваемая молекула, будет снято, если в формулу (3.1.2) вместо средней скорости представить среднюю скорость относительного движения рассматриваемой молекулы. В самом деле, если налетающая молекула движется со средней относительной скоростью, то молекула, с которой она сталкивается, оказывается покоящейся, что и предполагалось при получении формулы (3.1.2). Поэтому формулу (3.1.2) следует написать в виде:

(3.1.3)

Предположим, что скорости молекул до столкновения были и Тогда Из треугольника скоростей имеем (рис. 2)

(3.1.4)

Так как углы и скорости и, с которыми сталкиваются молекулы, очевидно, являются независимыми случайными величинами, то среднее

рис. 2

от произведения этих величин равно произведению их средних. Поэтому

(3.1.5)

С учетом последнего равенства формулу (3.1.4) можно переписать в виде:

(3.1.6)

так как Cредняя квадратичная скорость пропорциональна средней скорости,

(3.1.7)

т. е ... Поэтому соотношение (3.1.6) можно представить так:

(3.1.8)

С учетом последнего выражения формула для средней длины свободного пробега приобретает вид:

(3.1.9)

Для идеального газа. Поэтому

(3.1.10)

Отсюда видно, что при изотермическом расширении (сжатии) средняя длина свободного пробега растет (убывает). Как было отмечено во введении, эффективный диаметр молекул убывает с ростом температуры. Поэтому при заданной концентрации молекул средняя длина свободного пробега увеличивается с ростом температуры. Вычисление средней длины свободного пробега для азота (d = 3•10-10 м), находящегося при нормальных условиях (р = 1,01•105 Па, Т = 273,15 К) дает:, а для числа столкновений за одну секунду:. Таким образом, средняя длина свободного пробега молекул при нормальных условиях составляет доли микрон, а число столкновений - несколько миллиардов в секунду. Поэтому процессы выравнивания температур (теплопроводность), скоростей движения слоев газа (вязкое трение) и концентраций (диффузия) являются достаточно медленными, что подтверждается опытом.