Решить систему неравенств (задание типа С3)

С3, неплохо

log (6-x, (x-6) ^2 / (x-2)) > = 2

ОДЗ:

(x-6) ^2 / (x-2) >0 = > (2; 6) U (6; +oo)

6-х = / = 1 = > x=/=5

6-x>0 = > (-oo; 6)

общий промежуток: (2; 5) U (5; 6)

Пользуемся правилом разности логарифмов

log (6-x, (x-6) ^2) - log (6-x, x-2) >=2

2log (6-x, |x-6|) - log (6-x, x-2) >=2

-log (6-x, x-2) >=0

log (6-x, x-2) <=0

1. 6-x C (0; 1)

6-x>0 = > 6
6-x x>5

общий промежуток (5; 6)

меняем знак неравенства

x-2>=1

x>=3

общее решение (5; 6)

2. 6-x C (1; +oo)

6-x>1 = > x<5

x-2<=1

x<=3

общее решение (-oo; 3]

С учетом ОДЗ

(2; 3] U (5; 6)

(x^2-x-14) / (x-4) + (x^2-8x+3) / (x-8) < = 2x+3

Здесь можно не побрезговать и тупо привести к общему знаменателю

(x^2-x-14) (x-8) + (x^2-8x+3) (x-4) - (2x-3) (x-4) (x-8) / (x-4) (x-8) <=0

После всех подсчетов остается

(x+4) / ((x-4) (x-8)) <=0

методом интервалов

x<=-4; x C (4; 8)

объединяем два неравенства: (5; 6)

ответ: (5; 6)