Вычислить криволинейный интерграл от точки А до точки В по заданному пути интергированию и установисть независимость от пути интергрирования ∫ (x-y) dx - (x-2y) dy; АВ-дуга параболы у=1/2 * x^2; А (0; 0) и B (4; 8) ;

Из уравнения y=x²/2 находим dy=x*dx. Тогда ∫ (x-y) * dx - (x-2*y) * dy=∫ ((x-x²/2) - (x-x²)) * dx=∫x²/2*dx с пределами интегрирования x1=0, x2=4. Первообразная F (x) = x³/6+C. Подставляя пределы интегрирования, находим F (4) - F (0) = 4³/6-0³/6=64/6=32/3. Запишем теперь исходный интеграл в виде ∫P (x, y) * dx+Q (x, y) * dx, где P (x, y) = x-y, Q (x, y) = 2*y-x. Так как dP/dy=-1=dQ/dx, то подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функции u (x, y). А в этом случае величина интеграла зависит только от начальной и конечной точек пути и не зависит от его формы.