Доказать что наименьший положительный период функции равен 4 п

Докажем следующие утверждения:

1. Наименьший положительный период функций синус и косинус равен 2π

2. Наименьший положительный период функций тангенс и котангенс равен π

Ранее было показано, что число 2π является периодом функций y=cos (x) и y=sin (x). Остается доказать, что число, меньшее 2π, не может являться периодом этих функций.

Если Т - произвольный период косинуса, то cos (a+t) - cos (a) при любом a. Пусть a=0, следовательно cos (T) = cos (0) = 1. Наименьшее положительоне число Т, для которого cos (x) = 1, есть 2π

Пусть T - произвольный период синуса. Тогда sin (a+T) = sin (a) для любого a. Пусть a=π/2, получаем sin (T+π/2) = sin (π/2) = 1. Но sin (x) = 1 только при x=π/2+2πn, где n - целое. Следовательно T=2πn. Наименьшее положительное число вида 2πn есть 2π.

Если T - положительный период тангенса, то tg (T) = tg (0+T) = tg (0) = 0. Так как на интервале (0; π) тангенс нулей не имеет, следовательно, T ≥ 2π. Ранее было доказано, что π - период функции тангенса, и, значит, π - наименьший положительный период тангенса. Аналогичное доказательство можно привести и для функции котангенса.

Обычно слова "наименьший положительный период" опускают и говорят просто "период".