Два равносильных противника играют в шахматы. Для каждого из них что вероятнее выиграть: а) одну партию из двух или две из четырех; б) не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти. Ничьи во внимание не принимаются.

Обозначим:

A (i) - игрок выиграл i-ю партию (вероятность этого события p = 1/2). ~A (i) - игрок проиграл i-ю партию (вероятность этого события q = 1 - p = 1/2).

P (m, N) - событие "игрок выиграл m партий из N".

S (m, N) - событие "игрок выиграл не менее m партий из N". s (m, N) - вероятность события "игрок выиграл не менее m партий из N"

C (k, N) = [N!/k! (N-k) !]*p^k*q^ (N-k) - вероятность k выигрышей и N-k проигрышей в N партиях для каждого из игроков. C (k, N) = [N!/k! (N-k) !] * (1/2) ^N, т. к. в нашем случае p = q = 1/2.

p (m, N) - вероятность события "игрок выиграл m партий из N": p (m, N) = C (m, N) = [N!/m! (N-m) !]*p^m*q^ (N-m) = [N!/m! (N-m) !] * (1/2) ^N

s (m, N) - вероятность события "игрок выиграл не менее m партий из N": s (m, N) = p (m, N) + p (m+1, N) + ... + p (N, N).

а)

p (1,2) = [2! / (1!1!) ] * (1/2) ^2 = 2 * (1/4) = 1/2

p (2,4) = [4!/2! (2) !] * (1/2) ^4 = 6 * (1/2) ^4 = 3/8

Следовательно, p (1,2) > p (2,4)

Вероятность выигрыша одной партии из двух больше, чем вероятность выигрыша двух партий из четырех.

б)

s (2,4) = p (2,4) + p (3,4) + p (4,4) = 3/8 + 1/4 + 1/16 = 11/16

s (3,5) = p (3,5) + p (4,5) + p (5,5) = 10/32 + 5/32 + 1/32 = 1/2

Следовательно, s (2,4) > s (3,5)

Вероятность выигрыша не менее двух партий из четырех больше, чем вероятность выигрыша не менее трех партий из пяти.