при каких значениях b уравнение

а) имеет один корень

б) имеет только положительные корни?

Решение: ОДЗ уравнения: х+1 не равно 0

х не равно - 1

Данное уравнение имеет один корень, в случае когда дискриминант

уравнения x^2 - (5b+3) x+4b^2+3b=0 (*) равен 0 (или тоже самое когда имеет два одинаковых корня), и корень уравнения отличный от - 1

или в случае, когда один из корней уравнения (*) равен - 1, а второй нет

x^2 - (5b+3) x+4b^2+3b=0

(x-b) (x-4b-3) = 0

x1=b

x2=4b+3

b=4b+3

3b=-3

b=-1

x=-1

для первого случая таких b не существует

Пусть х1=b=-1 тогда x2=4b+3=4 * (-1) + 3=-4+3=-1 не подходит

Пусть х2=4b+3=-1

тогда b = (-1-3) / 4=-1=x1 не подходит

следовательно такого b не существует при котором данное уравнение имело бы только один корень

б) х=-1

x^2 - (5b+3) x+4b^2+3b=1+5b+3+4b^2+3b=0

4b^2+8b+4=0

b^2+2b+1=0

(b+1) ^2=0

b+1=0

b=-1

значит b не равно - 1

x1=b>0

x2=4b+3>0

b>0

b>-3/4

b>0

Ответ при b>0