1) Найти наибольшее значение функции F (x) = 1+8x-x^2 на промежутке [2; 5] 2) найти промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремума функции, а так же наибольшее и наименьшее значение функции y=2x^3-3x^2-12x+1 на отрезке [4; 5]

1) Вершина параболы x0 = - b / (2a) - точка ее экстремума.

Если a < 0, ветви направлены вниз, то это максимум.

Если a > 0, ветви направлены вверх, то это минимум.

У нас a = - 1 < 0, x0 = - 8 / (-2) = 4; y0 = F (4) = 1 + 8*4 - 4^2 = 17.

Точка x0 = 4 ∈ [2; 5], значит, это и есть максимум на отрезке.

На всякий случай найду значения на концах отрезка.

F (2) = 1 + 8*2 - 2^2 = 13; F (5) = 1 + 8*5 - 5^2 = 16

2) Кубическая функция, здесь уже вершину так просто не найдешь.

Производная y' = 6x^2 - 6x - 12 = 6 (x^2 - x - 2) = 6 (x+1) (x-2) = 0

x1 = - 1; y (-1) = 2 (-1) - 3*1 - 12 (-1) + 1 = - 2 - 3 + 12 + 1 = 8 - максимум.

x2 = 2; y (2) = 2*8 - 3*4 - 12*2 + 1 = 16 - 12 - 24 + 1 = - 19 - минимум.

Промежутки возрастания: x ∈ (-oo; - 1) U (2; + oo)

Промежуток убывания: x ∈ (-1; 2)

На отрезке [4; 5] функция строго возрастает.

y (4) = 2*64 - 3*16 - 12*4 + 1 = 128 - 48 - 48 + 1 = 33 - минимум

y (5) = 2*125 - 3*25 - 12*5 + 1 = 250 - 75 - 60 + 1 = 116 - максимум.