Найти значения параметра а при каждом из которых система уравнений имеет единственное решение:

x^2+y^2=a

x-y = a

Второе уравнение возведем в квадрат

(x - y) ^2 = x^2 - 2xy + y^2 = a^2

Подставляем 1 уравнение

a - 2xy = a^2

2xy = a^2 - a

Получаем систему

{ 2xy = a^2 - a

{ x = a + y

2y (a + y) - (a^2 - a) = 0

2y^2 + 2ay + (a - a^2) = 0

Получили квадратное уравнение. Решение единственно, если D = 0

D = (2a) ^2 - 4*2 (a-a^2) = 4a^2-8a+8a^2 = 12a^2-8a = 4a (3a-2) = 0

a1 = 0; x1 = y1 = 0

a2 = 2/3;

2y^2 + 4/3*y + (2/3 - 4/9) = 0

Умножаем все на 9 и делим на 2

9y^2 + 6y + 1 = (3y + 1) ^2 = 0

y2 = - 1/3; x2 = a + y = 2/3 - 1/3 = 1/3

Ответ: a1 = 0; решение (0; 0) ; a2 = 2/3; решение (1/3; - 1/3)