1. Решить уравнение: cos3x=sin5x

2. Найти все корни уравнения sin2x+16cos^{2}x=4[/tex], принадлежащие отрезку

1. cos3x=sin5x

Или с применением формулы приведения:

sin5x - sin (pi/2 - 3x) = 0

Из формулы разности синусов:

2sin[ (5x-pi/2 + 3x) / 2]*cos[ (5x+pi/2 - 3x) / 2] = 0

Разбиваем на два уравнения:

sin (4x - pi/4) = 0 cos (x + pi/4) = 0

4x - pi/4 = pi*k x + pi/4 = pi/2 + pi*n

x = pi/16 + pi*k/4 x = pi/4 + pi*n

Ответ: pi/16 + pi*k/4; pi/4 + pi*n; k, n принадл. Z

2. sin2x + 16cos²x = 4

Пользуясь формулой синуса двойного угла и основным тождеством приведем данное уравнение к однородному второй степени:

2sinx*cosx + 16cos²x - 4 (sin²x+cos²x) = 0

2sin²x - sinx*cosx - 6cos²x = 0

Делим на cos²x:

2tg²x - tgx - 6 = 0, tgx = t

2t² - t - 6 = 0

D = 1 + 48 = 49 = 7²

t₁ = (1+7) / 4 = 2

t₂ = (1-7) / 4 = - 1,5

tgx = 2 tgx = - 1,5

x = arctg2 + πk x = - arctg1,5 + πn

Подбираем корни из заданного промежутка:

arctg2; π - arctg1,5; π + arctg2