Функция f (x) = 1/cos^2 (x) интегрирована на отрезке:

A) [-п/2; п/2] Б) [0; п ] В) [-п/4; 2 п ] Г) [п/4; 2 п]

Функция интегрируема, если cos x не равен нулю.

Функция неинтегрируема, если cos x = 0.

cos x = 0 при x = п/2 + пk

Проверяем

A) [-п/2; п/2]

на краях этого отрезка (x=-п/2, x=п/2) cos x = 0 - Функция НЕинтегрируема

Б) [0; п ]

в середине этого отрезка (x=п/2) cos x = 0 - Функция НЕинтегрируема

В) [-п/4; 2 п ]

внутри этого отрезка (x=п/2, x=3 п/2, x=5 п/2) cos x = 0 - Функция НЕинтегрируема

Г) [п/4; 2 п]

внутри этого отрезка (x=п/2, x=3 п/2, x=5 п/2) cos x = 0 - Функция НЕинтегрируема

ответ: Функция НЕинтегрируема ни на каком отрезке.

Хотя, возможно, имеется в виду теорема о том, что

Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.

Формально под эту теорему подпадает случай А).

(Но что делать с границами отрезка? Если бы вместо отрезка был интервал (-п/2; п/2), то на этом интервале функция была бы интегрируема в любой точке, и вопросов бы не было и интеграл по интервалу можно было рассматривать, как предельные переходы к границам интервала.

Можно конечно, так же считать и для отрезка [-п/2; п/2], но это очень сомнительное допущение.)

Так что ответ может быть и А).

Что значит интегрирована? Это значит, что она определена и монотонна на данном отрезке. Что такое определена? Это значит, что все значение, что можно подставить в уравнение, будут принадлежать отрезку ... Итак ... поехали ... подставляем крайние значения.

f (-П/2) = 1/сos^2 (П/2) = 1/0 - неверно, так как косинус тут равен нулю ...

f (0) = 1/1=1. 1 удовл отрезку [0; п]

f (П) = 1/1 = 1 ... значит, ответ - б