Числитель обыкновенной несократимой дроби на 3 меньше ее знаменателя. Если к числителю прибавить 3, а к знаменателю прибавить 2, то дробь увеличится на 7/40. Найдите эту дробь

Решение:

Обозначим знаменатель дроби за (а), тогда числитель дроби равен (а-3) и сама дробь представляет:

(а-3) / а

Если к числителю прибавим 3, то числитель станет равным:

(а-3+3) = а,

а к знаменателю прибавим два знаменатель примет значение:

(а+2)

сама дробь представит в виде:

а / (а+2)

А так как получившаяся дробь увеличится на 7/40, составим уравнение:

а / (а+2) - (а-3) / а=7/40

Приведём уравнение к общему знаменателю (а+2) * а*40

а*40*а - 40 * (а+2) * (а-3) = 7 * (а+2) * а

40 а² - 40 * (а²+2 а-3 а-6) = 7 * (а²+2 а)

40 а²-40 а²+40 а+240=7 а²+14 а

7 а²+14 а-40 а-240=0

7 а²-26 а-240=0

а1,2 = (26+-D) / 2*7

D=√ (26²-4*7*-240) = √ (676+6720) = √7396=86

а1,2 = (26+-86) / 14

а1 = (26+86) / 14=112/14=8

а2 = (26-86) / 14=-60/14=-4 1/15 - не соответствует условию задачи

Подставим значение а=8 в дробь (а-3) / а

(8-3) / 8=5/8

Ответ: 5/8