Найдите все натуральные числа, разность квадратов которых равна 455.

Разложите 455 на простые множители.

455 = 5 * 7 * 13

a² - b² = (a+b) (a-b).

Соответственно, решение распадается на несколько систем:

a + b = 1, a - b = 5 * 7 * 13.

a + b = 5, a - b = 7 * 13.

a + b = 7, a - b = 5 * 13.

a + b = 13, a - b = 5 * 7.

a + b = 5 * 7, a - b = 13.

a + b = 5 * 13, a - b = 7.

a + b = 7 * 13, a - b = 5.

a + b = 5 * 7 * 13, a - b = 1.

Дальше надо отбросить все решения, кроме натуральных.

Ответ: (24; 11), (36; 29), (48; 43), (228; 227).

Пусть n и m - натуральные числа, причем n больше m, тогда:

n² - m² = 455 или (n - m) (n + m) = 455

Разложим 455 на простые множители и получаем:

1*455 = 5*91 = 7*65 = 13*35 = 455

Из этого следует, что все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 455, есть решение этих систем уравнений:

∫ n - m = 1 ∫ n - m = 5 ∫ n - m = 7 ∫ n - m = 13

n + m = 455. n + m = 91. n + m = 65. n + m = 35.