8 класс

1. Докажите, что при любом натуральном n:

n^3+11n делится на 6;

15^n+6 делится на 7;

5*4^2n+4*61^n делится на 9;

2. Докажите, что чётная натуральная степень числа 3, увеличенная на 7, кратна 8.

1. Доказать, что при любом натуральном n значение выражения n 3 + 11n делится на 6. Доказательство.

1) Начало индукции. Проверим утверждение при n = 1.

1 3 + 11∙ 1 = 12 Так как 12 : 6 = 2, то утверждение справедливо при n = 1.

2) Индуктивное допущение. Предположим, что утверждение справедливо

при n = k, т. е. выражение k^3 + 11k делится на 6.

3) Индуктивный шаг. Докажем, что утверждение выполняется при n = k + 1. (k+1) ^3 + 11 (k+1) = k^3 + 3k^ 2 + 3k + 1 + 11k + 11 = (k^3 + 11k) + 3k (k + 1) + 12. Первое слагаемое делится на 6. При любом натуральном k одно из чисел

k или (k + 1) является чётным, поэтому второе слагаемое делится на 6. Третье слагаемое делится на 6. По методу математической индукции получаем, что утверждение справедливо при любом n ∈N

остальные в 1) и 2) - делать аналогично.