24*sin (x) - 8*cos (2*x) = 15

Cos (2*x) = 1-2sin² (x). Исходное уравнение принимает вид:

24sin (x) - 8 + 16sin² (x) - 15 = 0

Обозначим sin (x) = у.

Получаем квадратное уравнение:

16 у² + 24 у - 23 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно y:

Ищем дискриминант:D=24^2-4*16 * (-23) = 576-4*16 * (-23) = 576-64 * (-23) = 576 - (-64*23) = 576 - (-1472) = 576+1472=2048;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

y₁ = (√2048-24) / (2*16) = (√2048-24) / 32=√2048/32-24/32=√2048/32-0.75 ≈ 0.66421356237309;

y₂ = (-√2048-24) / (2*16) = (-√2048-24) / 32=-√2048/32-24/32=-√2048/32-0.75 ≈ - 2.16421356237309.

Второй корень отбрасываем: | sin (x) | ≠ >1.

Тогда sin (x) = 0.66421356237309.

Общий вид решения уравнения sin x = a, где | a | ≤ 1, определяется формулой: x = (- 1) ^k · arcsin (a) + πk, k ∈ Z (целые числа), при | a | > 1 уравнение sin x = a не имеет решений среди вещественных чисел.

x = Arc sin 0.66421356237309 = (- 1) ^k * arc sin (0.66421356237309) + πk =

(- 1) ^k * 0.726441295 + πk.