Помогите исследовать функцию на монотонность и экстремумы

Решение

Находим интервалы возрастания и убывания.

Первая производная:

f' (x) = 2e^ (2x) - 3e^x + 1

Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю

2e^ (2x) - 3e^x + 1 = 0

Откуда:

x₁ = 0

x₂ = - ln (2)

(-∞; - ln (2)), f' (x) > 0, функция возрастает

(-ln (2) ; 0), f' (x) < 0, функция убывает

(0; + ∞), f' (x) > 0, функция возрастает

В окрестности точки x = - log (2) производная функции меняет знак с (+)

на (-). Следовательно, точка x = - log (2) - точка максимума. В окрестности точки x = 0 производная функции меняет знак с (-) на (+).

Следовательно, точка x = 0 - точка минимума.