Найдите наименьшее значения произведения (1+x/y) (1+y/z) (1+z/x) для положительных значений переменных.

Можно воспользоваться очевидным неравенством 1+t≥2√t т. к. (1-√t) ²≥0.

Тогда 1+x/y≥2√ (x/y), 1+y/z≥2√ (y/z), 1+z/x≥2√ (z/x). Перемножая их, получим

(1+x/y) (1+y/z) (1+z/x) ≥8√ (y/z·z/x·z/x) = 8. Очевидно, что 8 достигается при x=y=z. Ответ: 8.