Исследуйте на возрастание (убывание) и на экстремумы функцию f (x) = x^2*e^x

F (x) = (x²) * (e^x)

Решение

Находим первую производную функции:

y' = (x²) * (e^x) + (2x) * (e^x)

или

y' = x * (x+2) * (e^x)

Приравниваем ее к нулю:

x * (x+2) * (e^x) = 0

x₁ = - 2

x₂ = 0

Вычисляем значения функции

f (-2) = 4/e²

f (0) = 0

Ответ: fmin = 0, f max = 4/e 2

Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:

y'' = x² * (e^x) + (4x) * (e^x) + 2 * (e^x)

или

y'' = (x² + 4x + 2) * (e^x)

Вычисляем:

y'' (-2) = - 2/e² < 0 - значит точка x = - 2 точка максимума функции.

y'' (0) = 2 > 0 - значит точка x = 0 точка минимума функции.