Исследуйте на возрастание (убывание) и точки экстремумы:

f (x) = 48x-x^3

f (x) = 48x-x^3

D (f) = R

f' (x) = 48-3x^2

f' (x) = 0, 48-3x^2=0

16-x^2=0

x=+-4 - критичесие точки

Найдем значение производной слева и справа от этих точек

f' (-5) = - 27, f' (0) = 48, f' (5) = - 27

Значит на промежутках (- бесконечность; - 4] и [4; + бесконечность) - функция убывает, А на промежутке [-4; 4] - возрастает

х=-4, у=-128 - точка минимума

х=4, у=128 - точка максимума