Найдите наименьшее значение выражения y = (x+6) ^2 * (x+3) + 11 на отрезке [-5; 5]

Y = (x+6) ² * (x+3) + 11 [-5; 5]

1) Преобразуем исходную функцию:

y = (x²+12x+36) * (x+3) + 11 = x³+3x²+12x²+36x+36x+108+11 = x³+15x²+72x+119.

2) Найдем производную: y' (x) = (x³+15x²+72x+119) ' = 3x²+30x+72

3) Приравняем производную к нулю:

3x²+30x+72=0 |:3

x²+10x+24=0

x₁ = - 4

x₂=-6

Критические точки

Точка х=-6 не попала в заданный промежуток, ее рассматривать мы не будем.

Убедимся, что точка х=-4 будет точкой минимума, по идее она должна ей быть. Да, так и есть.

у min = y (-4) = (-4+6) ² * (-4+3) + 11 = 2² * (-1) + 11 = - 4+11 = 7

P. S значение y (-4) подставляем в исходную функцию:

Ответ: 7