Дан треугольник ABC, в котором АВ = 7, ВС = 9, и проведена прямая BD, которая делит треугольник на две части, площади которых относятся как 7 : 9. Докажите, что BD - биссектриса угла ABC.

Проведем ВК перпенд АС. Тогда:

S (BAD) = AD*BK/2

S (BDC) = DC*BK/2

Тогда отношение площадей равно:

AD/DC = 7/9

Таким образом отрезок BD разделил сторону АС в отношении 7/9 = АВ/ВС

А это свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника.

Значит BD - биссектриса.