Внутри угла 60 градусов расположена точка на расстоянии 3 см и 1 см от его сторон. расстояние от этой точки до вершины данного угла равно

Так как точка А расположена внутри угла в 60° (∠М=60°) и удалена от его сторон на расстояние 3 см и 1 см, то длина перпендикуляра, проведённого от точки А до стороны МВ равно 3 см (АВ⊥МВ, АВ=3 см),

а длина перпендикуляра, проведённого от точки А до стороны МС, равна 1 см (АС⊥МС, АС=1 см).

Получили два прямоугольных треугольника: ΔАВМ и ΔАСМ,

∠АВМ=90°, ∠АСМ=90°.

Продлим сторону АС до пересечения со стороной МВ в точке Д. Получим ΔДМС, в котором ∠ДМС=60°, ∠ДСМ=90°.

В прямоугольном ΔДМС острые углы будут ∠ДМС=60° и

∠СДМ=90°-60°=30°.

Против угла в 30° в прямоугольном треугольнике лежит катет, равный половине гипотенузы, то есть СМ=0,5*МД ⇒ МД=2*СМ.

Для более удобной записи обозначим СМ=х, тогда МД=2 х.

Рассм. ещё один прямоугольный треугольник, в котором один из острых углов равен 30°. Это ΔАВД. ∠АВД=90, ∠АДВ=30°.

Катет АВ лежит против угла в 30° ⇒ АД=2*АВ ⇒ АД=2*3=6.

Катет СД прямоугольного ΔДМС равен СД=СА+АД=1+6=7 см,

а по теореме Пифагора МД²=СД²+МС² ⇒ (2 х) ²=7²+х² ⇒

4 х²=49+х², 3 х²=49, х²=49/3, х=7/√3.

МС=7/√3.

Из ΔАМС: АМ²=СМ²+АС² ⇒ АМ²=1² + (7/√3) ², АМ²=1+49/3=52/3,

АМ=√ (52/3) ≈√ (17,33) ≈4,16

или АМ=√52/√3=√ (4·13) / √3 = (2·√13) / √3 = (2√39) / 3.