В прямоугольном параллелепипеде abcda1b1c1d1 ab=2, ad=6, aa1=4. k-середина ad, m-середина bb1, n-середина a1b1. Найти длину перпендикулярной проекции отрезка c1d1 на плоскость kmn

Введём прямоугольную систему координат с началом координат в точке В (см. рис.).

Найдём координат точек:

K (2; 3; 0), M (0; 0; 2), N (1; 0; 4), C₁ (0; 6; 4), D₁ (2; 6; 4).

Найдём уравнение плоскости (KMN) :

A (x - 2) + B (y - 3) + Cz = 0

A (0 - 2) + B (0 - 3) + C (2 - 0) = 0

A (1 - 2) + B (0 - 3) + C (4 - 0) = 0

A (x - 2) + B (y - 3) + Cz = 0

-2A - 3B + 2C = 0

-A - 3B + 4C = 0

-A - 3B + 4C = 0

A + 2C = 0

A (x - 2) + B (y - 3) + Cz = 0

A = - 2C

2C - 3B + 4C = 0

A (x - 2) + B (y - 3) + Cz = 0

A = - 2C

2C - B = 0

A (x - 2) + B (y - 3) + Cz = 0

A = - 2C

B = 2C

-2C (x - 2) + 2C (y - 3) + Cz = 0

-2 (x - 2) + 2 (y - 3) + z = 0

-2x + 4 + 2y - 6 + z = 0

-2x + 2y + z - 2 = 0

Нормальный вектор к (KMN) : n (-2; 2; 1).

Координаты проекции точки C₁ (0; 6; 4) : C₂ (x₁; y₁; z₁).

Вектор C₂C₁ (0 - x₁; 6 - y₁; 4 - z₁) ║вектору n (-2; 2; 1).

- x₁ = - 2k

6 - y₁ = 2k

4 - z₁ = k

x₁ = 2k

y₁ = 6 - 2k

z₁ = 4 - k

C₂ ∈ (KMN)

-2·2k + 2 (6 - 2k) + 4 - k - 2 = 0

-4k + 12 - 4k + 2 - k = 0

14 - 9k = 0

k = 14/9

x₁ = 2·14/9 = 28/9

y₁ = 6 - 2·14/9 = 26/9

z₁ = 4 - 14/9 = 22/9

C₂ (28/9; 26/9; 22/9)

Координаты проекции точки D₁ (2; 6; 4) : D₂ (x₂; y₂; z₂).

Вектор D₂D₁ (2 - x₂; 6 - y₂; 4 - z₂) ║вектору n (-2; 2; 1).

2 - x₂ = - 2k

6 - y₂ = 2k

4 - z₂ = k

x₂ = 2 + 2k

y₂ = 6 - 2k

z₂ = 4 - k

D₂ ∈ (KMN)

-2 (2 + 2k) + 2 (6 - 2k) + 4 - k - 2 = 0

-4 - 4k + 12 - 4k + 2 - k = 0

10 - 9k = 0

k = 10/9

x₂ = 2 + 2·10/9 = 38/9

y₂ = 6 - 2·10/9 = 34/9

z₂ = 4 - 10/9 = 26/9

D₂ (38/9; 34/9; 26/9)

C₂D₂ = √ ((38/9 - 28/9) ² + (34/9 - 26/9) ² + (26/9 - 22/9) ²) =

= √ ((10/9) ² + (8/9) ² + (4/9) ²) = √ (100 + 64 + 16) / 9 = √180/9 = 6√5/9 = 2√5/3.