Стороны оснований правильной треугольной усечнной пирамиды равны 4 дм и 2 дм, а боковое ребро равно 2 дм. Найдите высоту и апофему пирамиды.

ВС равно половине большего основания:

BC = 4 дм / 2 = 2 дм

AD равно половине меньшего основания:

AD = 2 дм / 2 = 1 дм

Если провести параллельный отрезок DB1 из точки D параллельно AB до ребра BC большего основания, то получится треугольник, причём:

B1C = BC - AD = 2 - 1 = 1 дм

DB1 = AB

Мы получили прямоугольный треугольник DB1C,

теорема Пифагора для него:

DB1^2 + B1C^2 = DC^2, подставляем

DB1^2 + 1^2 = 2^2

DB1^2 = 4 - 1 = 3

DB1 = sqrt (3) - корень из трех

F = AB = DB1 = sqrt (3)

Осталось найти высоту H:

Т к большее основание - правильный треугольник, то OB - это перпендикуляр к BC

Делаем тоже самое - проводим параллельный отрезок отрезку H, но из точки A и второй точкой A1 на большем основании:

Так как ребра равнобедренных оснований большего в два раза больше меньшего, то исходя из симметрии оснований BO = 2 AO1

Тогда BA1 = AO1 = A1O = BO/2

Теперь рассмотрим треугольник BOC - прямоугольный

угол BCO = 60 / 2 = 30 град - половине угла равнобедренного треугольного основания.

Значит угол BOC = 180 - 90 - 30 = 60 град

Тогда из соотношения синуса:

BC / sin (60) = BO / sin (30)

BC = 2

BO = 2 * sin (30) / sin (60) = 2 * 0.5 / (sqrt (3) / 2) = 2 / sqrt (3)

значит BA1 = BO/2 = 2 / sqrt (3) / 2 = 1/sqrt (3)

но по правилу Пифагора:

F^2 = BA1^2 + H^2

подставляем

sqrt (3) ^2 = 1/sqrt (3) ^2 + H^2

H^2 = 3 - 1/3 = (9 - 1) / 3 = 8/3

H = sqrt (8) / sqrt (3) = 2*sqrt (2/3)

Ответ: Апофема равна sqrt (3), высота усеченной пирамиды равна 2*sqrt (2/3)