В прямоугольном треугольнике биссектриса, проведенная к гипотенузе, делит ее в отношении в 1 : под корнем 3. Найдите градусную меру угла между этой биссектрисой и медианой проведенной к гипотенузе.

Дано: ▲АВС

∠АСВ=90°

СД - биссектриса

СМ - медиана

ВД/АД=1/√3

Найти: ∠МСД

Решение.

1) ∠АСД=∠ДСВ = (1/2) * ∠АСВ=90/2=45°, так как СД - биссектриса.

2) Базовое определение: биссектриса любого треугольника делит его сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.

АД/АС=ВД/ВС ⇒ВД/АД=ВС/АС=1/√3, но

ВС/АС=tq∠ВАС (так как ▲АВС - прямоугольный)

tq∠ВАС=1/√3 ⇒∠ВАС=30°

3) Базовое определение: медиана прямоугольного треугольника, опущенная из прямого угла равна половине гипотенузы.

АМ=МС ⇒▲АМС - равнобедренный ⇒∠МАС=∠МСА=30°

4) ∠МСД=∠АСД-∠МСА=45-30=15°

Ответ: 15°