В углах квадратного двора стоят четыре дома, в которых живут хулиганы, дружащие между собой. Начиная с 1 января 2017 года каждый день навсегда ссорились какие-то два хулигана из соседних домов, а 1 января 2018 года впервые оказалось, что ссориться больше некому. Сколько могло быть всего хулиганов? Приведите все варианты и объясните, почему нет других.

Обозначим количество хулиганов в четырёх домах (и сами дома) как a, b, c, d.

у дома a соседними являются дома b и c (дом d стоит в противоположном углу двора и соседним не является)

Тогда количество ссор между домами (a и b) и (a и c) равно a*b и a*c соответственно.

Значит для всех ссор во дворе можно записать выражение:

a*b+a*c+c*d+b*d=365;

a * (b+c) + d * (b+c) = 365;

(b+c) * (a+d) = 365;

Значит одна из сумм (b+c) или (a+d) должна заканчиваться на 5, а другая быть нечётной.

число 365 нацело делится только на 5 и 365 (из чисел, заканчивающихся на 5.

365/5=73;

значит всего хулиганов было 73+5=88 человек.