Ученик 5 "ю" класса Никита сказал учительнице, что сможет написать 17 нечетных чисел, что их сумма будет равна 2010. Не усомнится ли в этом учительница?

Разумеется, усомнится. И правильно сделает ...))

Сумма нечетного количества нечетных чисел есть число нечетное, и ни при каких условиях 2010 равняться не может.

Если число нечетное, то его можно представить в виде:

m = 2k+1, где k∈Z (множеству целых чисел)

Так как 2k - всегда четно, то нечетное количество единиц (17)

даст в сумме нечетное число, и, как следствие, - сумма нечетного

и четного чисел есть число нечетное.