В банке лежат шарики. В первый день в банку положили или убрали (если это возможно) 1 шарик, во второй день положили или убрали 2 шарика, в третий день - 3 шарика и так далее. Может ли по прошествии 23 дней (23 раза меняли число шариков) количество шариков в банке отличаться от исходного на 27 шариков? А через 24 дня?

Сумма чисел от 1 до 23 четна (S = 24*23/2). Если в какой-то из дней число не прибавляли, а вычитали, то это число нужно дважды вычесть из суммы (то есть вычесть четное число). Разность двух четных чисел четна. 27 - нечетное число, следовательно не может быть искомой суммой.

Сумма чисел от 1 до 24 также четна (S = 25*24/2). Ответ тот же.