Задать вопрос
26 мая, 23:58

Доказать, что при любом натуральном n n^4+3n^3-n^2-3n делится на 6

+2
Ответы (1)
  1. 27 мая, 03:33
    0
    Число делится на 6, когда оно делится на 2 и на 3.

    n⁴ + 3n³ - n² - 3n = n (n³ + 3n² - n - 3) = n (n + 3) (n + 1) (n - 1)

    Полученное произведение включает в себя три последовательных натуральных числа:

    (n - 1) * n * (n + 1)

    Из трех последовательных натуральных чисел одно обязательно делится на 3, следовательно и все произведение будет кратно трем.

    Из этих же трех последовательных натуральных чисел, как минимум, одно будет четным, следовательно и все произведение будет четным, т. е. кратным двум, независимо от величины (n + 3).

    Таким образом, мы доказали, что исходное выражение кратно трем и, одновременно, кратно двум при любом натуральном n, следовательно, оно делится на 6, что и требовалось доказать.

    P. S. Для случая минимального натурального n = 1 все выражение обращается в нуль. Так как при делении нуля на любое (не обязательно натуральное) число получается нуль (целое число), то можно утверждать, что нуль кратен любому числу, в том числе и шести.
Знаете ответ?
Сомневаетесь в ответе?
Найдите правильный ответ на вопрос ✅ «Доказать, что при любом натуральном n n^4+3n^3-n^2-3n делится на 6 ...» по предмету 📘 Математика, а если вы сомневаетесь в правильности ответов или ответ отсутствует, то попробуйте воспользоваться умным поиском на сайте и найти ответы на похожие вопросы.
Смотреть другие ответы