Решить неоднородную систему методом Гаусса и методом Крамера. Определители вычислять, разлагая по строке и столбцу.

x + y + z = 1

{ 2x - y + z = 2

x - 2y - z = - 2

Метод Крамера.

Вычисляете определитель системы Delta состоящий из коэффициентов при неизвестных:

1 2 3

2 - 1 - 1

1 3 4

Затем вычисляете определитель Delta1, который отличается от Delta тем, что первый столбец заменен на столбец из свободных элементов:

5 2 3

1 - 1 - 1

6 3 4

Далее вычисляете определитель Delta2, отличающийся от Delta тем, что второй столбец заменен на столбец свободных элементов.

Далее вычисляете определитель Delta3, отличающийся от Delta тем, что третий столбец заменен на столбец свободных элементов.

Окончательно:

x = Delta1/delta; y = Delta2/Delta; z = Delta3/Delta.

Метод Гаусса.

Метод Гаусса заключается в том, что расширенная матрица системы (или сама система) элементарными преобразованиями приводится к треугольной системе (т. е. в первой строке остаются все переменные, во второй строке - только два переменных, в третьей строке - лишь одна переменная). Элементарные преобразования - это обмен местами двух строк, сложение (вычитание) из одной строки другой, умноженной на коэффициент.

Я предпочитаю действовать с расширенной матрицей:

1 2 3 5

2 - 1 - 1 1

1 3 4 6

Если из третьей строки вычесть первую, получим:

1 2 3 5

2 - 1 - 1 1

0 1 1 1

Прибавим ко второй строки третью и поменяем их местами.

1 2 3 5

0 1 1 1

2 0 0 2

Матрица получилась, конечно, не совсем треугольной, но переменные тут уже легко вычислить. Чему равен х ясно сразу. А y легко выражается через z. Все подставляете в первое уравнение и получаете z а затем и y.

Матричный метод. Если написать систему уравнений в матричном виде получим:

AX = B

тут А - матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных, Х - вектор из неизвесных, В - вектор, состоящий из свободных элементов.

Тогда:

Х = B/A, где 1/A - матрица, обратная А. Найти обратную матрицу можно разными способами. В Вашем случае удобнее всего сделать так:

В матрице А вместо каждого элемента подставить его алгебраическое дополнение - получите союзную матрицу. Далее, разделив каждый элемент союзной матрицы на величину определителя исходной - получите обратную матрицу. Подставляете в уравнение:

Х = B/A, и вычисляете Х. Вот и все.

В числах самостоятельно.