Один насос наполняет цистерну на 4 часа, а другой - на 9 часов дольше, чем наполняют эту цистерну оба насоса, работая вместе. За сколько часов может наполнить каждый насос, работая самостоятельно?

Пусть V - объём цистерны, t1 и t2 ч. - время, за которое наполняют цистерну первый и второй насосы соответственно. Тогда за 1 ч. первый насос наполнит V/t1 часть цистерны, второй насос - V/t2 часть цистерны, а работая совместно, оба насоса за 1 ч. наполнят V/t1+V/t2 часть цистерны. Отсюда следует, что при совместной работе оба насоса наполнят цистерну за время t=V / (V/t1+V/t2) ч. По условию, t1=V / (V/t1+V/t2) + 4, а t2=V / (V/t1+V/t2) + 9. Сокращая оба уравнения на V, получаем систему уравнений:

t1=1 / (1/t1+1/t2) + 4

t2=1 / (1/t1+1/t2) + 9

Первое уравнение приводится к виду t1 = (t1*t2+4*t1+4*t2) / (t1+t2), второе - к виду t2 = (t1*t2+9*t1+9*t2) / (t1+t2). Умножив оба уравнения на знаменатель t1+t2 и сократив подобные члены t1*t2, приходим к системе:

t1²=4*t1+4*t2

t2²=9*t1+9*t2

Разделив второе уравнение на первое, получаем уравнение (t2/t1) ²=9/4. А так как t2/t1>0, то t2/t1=√ (9/4) = 3/2. Отсюда t2=3/2*t1. Используя теперь уравнение t1=t1*t2 / (t1+t2) + 4 и подставляя в него найденное выражение для t2, приходим к уравнению t1²=10*t1. Сокращая обе части на t1, находим t1=10 ч. Тогда t2=10*3/2=15 ч. Ответ: за 10 и за 15 ч.