Вычислить производную y=x^ (arctg (x^ (1/2))) ^2

Логарифмическое дифференцирование.

Логарифмируем данную функцию.

lny = (arctg (√x)) ²lnx

Находим производную и слева и справа.

При этом

(lny) '=y'/y - производная сложной функции

(lnx) '=1/x, x независимая переменная и x'=1

y'/y=2arctg (√x) · (arctg (√x)) '·lnx + (arctg (√x)) ²· (lnx) '

y'=y· (2arctg (√x) · (1 / (1 + (√x) ²)) · (√x) '·lnx + (arctg (√x)) ²· (1/x)

y'=x^ (arctg (√x)) ²) · ((lnx·arctg (√x)) / (√x+x·√x) + (arctg (√x)) ²/x