Бесконечная геометрическая прогрессия состоит из натуральных чисел. Оказалось, что произведение первых шести её членов равно 72^612. Найдите количество таких прогрессий.

Пусть прогрессия имеет первый член b и знаменатель q. Сказано, что она бесконечная и состоит из натуральных чисел. Это значит, что прогрессия неубывающая, иначе рано или поздно появились бы дробные члены прогрессии. При этом b и q являются натуральными числами.

Найдем произведение первых 6 членов прогрессии:

b*bq*bq^2*bq^3*bq^4*bq^5=b^6*q^15

b^6*q^15=72^612

b^2*q^5=72^204

b^2*q^5 = (2^3*3^2) ^204

b^2*q^5=2^612*3^408

Так как b и q являются натуральными числами, а справа в уравнении стоит число, в составе которого только степени 2 и 3, то b и q тоже являются числами, в состав которых входят только степени 2 и 3.

Тогда пусть b=2^a*3^c, q=2^k*3^m.

Тогда (2^a*3^c) ^2 * (2^k*3^m) ^5=2^612*3^408

2^ (2a+5k) * 3^ (2c+5m) = 2^612*3^408

Получаем систему уравнений

2a+5k=612,

2c+5m=408,

которую надо решить в целых неотрицательных числах.

Видим, что уравнения однотипные, вида Ax+By=C, причем коэффициенты A и коэффициенты B у них соответственно совпадают.

Тогда решим уравнение 2x+5y=C.

2x=C-5y

2x=C+y-2 * (3y)

Это значит, что C+y кратно 2.

Тогда C+y=2*r

y=2*r-C

Отсюда уже можно вернуться к x:

2x=C-5 * (2*r-C)

2x=6C-10r

x=3C-5r.

Так как x и y - целые неотрицательные числа, то на них нужно наложить ограничения:

x=3C-5r>=0,

y=2r-C>=0

Из первого условия получим, что r<=3C/5

Из второго условия получим, что r>=C/2

Вернемся к более ранней системе уравнений.

1) 2a+5k=612

Уравнение имеет решения в виде a=3*612-5r, k=2r-612, а количество решений в целых неотрицательных числах в нем равно количеству целых r в промежутке [С/2; 3C/5]. Иными словами, получим промежуток [612/2; 3*612/5] или же [306; 367.2]. Целые r в нем - числа от 306 до 367. Их количество 367-306+1=62.

2) 2c+5m=408

Аналогично получаем промежуток для r

[408/2; 3*408/5] = [204; 244.8]

Количество целых решений равно 244-204+1=41

Так как уравнения системы не пересекаются, общее количество решений в виде четверки чисел (a, k, c, m) равно произведению количества решений первого уравнения и второго уравнения. То есть 62*41=2542