Абитуриент затратил на выполнение контрольной работы 3 часа. На решение каждой следующей задачи абитуриент тратил в одно и то же число раз больше времени, чем на решение предыдущей. Определите время выполнения каждой задачи, если известно, что на решение третьей задачи было затрачено на 36 минут больше времени, чем на решение первой. Контрольная работа содержала 4 задачи.

Задача на геометрическую прогрессию.

Пусть b1-время на первую задачу, b2-время на вторую задачу, b3-время на третью задачу, b4-время на четвертую задачу, q-во сколько раз увеличивалось время (знаменатель геометрической прогрессии).

b2=b1*q,

b3=b1*q²=b1+36,

b4=b1*q³,

Сумма геометрической прогрессии равна 180 минут (3 часа) :

180=b1 * (1-q^4) / (1-q).

Получаем систему уравнений с двумя неизвестными:

b1*q²=b1+36, (1)

180=b1 * (1-q^4) / (1-q) ; (2)

(1) b1=36 / (q²-1),

Подставляем (1) во (2), преобразовываем и получаем:

36 (1+q²) = 180 (q-1) ;

(1+q²) = 5 (q-1) ;

q²-5q+6=0;

D=1;

q1=2, q2=3.

Если q=2, то b1=12; если q=3, то b1=4,5.

Таким образом, получаем два решения:

1) 1 задача - 12 минут, 2 задача - 24 минуты, 3 задача - 48 минут, 4 задача - 96 минут.

2) 1 задача - 4,5 минуты, 2 задача - 13,5 минут, 3 задача - 40,5 минут, 4 задача - 121,5 минут.