Из всех цилиндров с объемом 54 П см^3, найтм цилиндр с наименьшей полной поверхностью

Формула нахождения объема цилиндра V=πr²h=54π.

Выразим высоту h=54/r².

Формула полной поверхности цилиндра S=2πr²+2πrh.

Подставим в эту формулу h:

S=2πr²+2πr*54/r²=2πr²+108π/r.

Представим полученную формулу как функцию площади, тогда минимальная площадь цилиндра будет достигнута в точке экстремума. Для нахождения экстремума дифференцируем (находим производную) :

S' (r) = 4πr-108π/r²;

Приравниваем производную к нулю:

4πr-108π/r²=0;

4πr³=108π;

4r³=108;

r³=27;

r=3 (см).

Находим значение h=54/r²=54/9=6 (см).

Таким образом, минимальная площадь данного цилиндра будет достигнута при r=3 см и h=6 см.

S=2πr (r+h) = 2π*3 (3+6) = 6π*9=54π (см²)

Объём цилиндра радиусом R и высотой h равен V=π*R²*h=54*π⇒R²*h=54. Площадь поверхности этого же цилиндра равна S=2*π*R*h=2*π*54/R=108*π/R. Таким образом, площадь поверхности будет тем меньше, чем больше радиус цилиндра. А высота цилиндра, видимо, определяется возможностью изготовителя цилиндра.