Доказать что дробь m (m-5) / 2 есть целое число при любом натуральном m

Заметим, что дробь будет являться натуральной, если выражение сверху четно, так как иначе будет несократимая дробь. Значит, нам нужно доказать, что выражение m * (m-5) четно.

Рассмотрим четность m.

Если m четно, то m - 5 нечетно, и отсюда их произведение четно.

Если m нечетно, то m - 5 четно, и отсюда их произведение четно.

Мы перебрали все случаи и обнаружили, что m * (m-5) четно всегда. Следовательно, выражение (m * (m-5)) / 2 - натурально, что и требовалось доказать