Найти такое число, что бы разность между этим числом и его квадратом была наибольшей.

Выразим разность числа и его квадрата как функцию от х: f (x) = x - x².

f' (x) = 1 - 2x

Условие экстремума: f' (x) = 0:

1 - 2x = 0

x = 1/2 - точка экстремума

f' (x) > 0, x < 1/2

f' (x) 1/2,

поэтому x = 1/2 - точка максимума

Ответ: x = 1/2.