Через точку К - середину гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC проведена плоскость α параллельно катету АС, которая пересекает катет ВС в точке L так, что BL - LK = 3 см, а СK = 6 см. Найдите площадь треугольника АВС.

Из условия вытекает, что отрезок LK равен половине АС, а BL - половине ВС.

Отрезок СК как медиана прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы, то есть СК = ВК = 6 см.

Отсюда вывод: гипотенуза АВ = 2*6 = 12 см.

Пусть BL = х, а LK = у.

Катеты треугольника АВС равны: BC = LB = 2x, АС = 2LK = 2y.

Тогда по Пифагору АВ ² = АС²+ВС²,

Если заменить у = х - 3, то получим:

12² = (2 х) ² + (2 (х-3)) ²,

144 = 4 х²+4 х²-12 х+36,

8 х²-24 х-108 = 0 или, сократив на 4:

2 х²-6 х-27 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:

D = (-6) ^2-4*2 * (-27) = 36-4*2 * (-27) = 36-8 * (-27) = 36 - (-8*27) = 36 - (-216) = 36+216=252; Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x₁ = (√252 - (-6)) / (2*2) = (2root252+6) / (2*2) = (√252+6) / 4=√252/4+6/4=√252/4+1.5 ≈ 5,468627 см; x₂ = (-√252 - (-6)) / (2*2) = (-√252+6) / (2*2) = (-√252+6) / 4=-√252/4+6/4=-√252/4+1.5 ≈ - 2,468627 (отрицательный корень не принимаем).

Находим у = х - 3 = 5,468627 - 3 = 2,468627 см.

Катеты треугольника АВС в 2 раза больше полученных значений:

ВС = 2 х = 2 * 5,468627 = 10,93725 см,

АС = 2 у = 2 * 2,468627 = 4,937254 см.

Отсюда площадь S треугольника АВС равна:

S = (1/2) ВС*АС = (1/2) 10,93725 * 4,937254 = 27 см ².