В олимпиаде принимали участие 46 человек. им было предложено 3 задачи. после подведения итогов выяснилось, что хотя бы 1 задачу выполнил каждый из участников, 1 и 2 - 11 участников, 2 и 3 - 8 участников, 3 и 1 - 5 участников, а 1, 2 и 3 - 2 участника. Доказать, что хотя бы 1 из задач решили не менее половины участников.

Надо доказать, что хотя бы одну задачу решили 23 человека или больше.

все три задачи решили всего двое. вычтем их из числа решивших по две задачи.

только первую и вторую решили 9

только вторую и третью решили 6

только первую и третью решили 5

из числа решивших две задачи первую решили 14, вторую 15, третью 11, всего двухзадачников 20 человек

самая плохая ситуация с третьей задачей. ей среди 24-х однозадачников надо найти 23-2-11=10 человек.

предположим, ей не хватило одного, это самый плохой случай.

итак, 9 однозадачников решили третью, и их осталось 15

далее хуже всего ситуация у первой задачи.

ей не хватает 23-2-14=7 человек.

и снова думаем о плохом - 6 человек решили первую задачу.

что же с последней, второй?

свободных однозадачников осталось 15-6=9 человек

а ей надо 23-2-15=6.

видно, что вторая задача в решена достаточным количеством участников Олимпиады.