В олимпиаде принимали участие 46 человек. им было предложено 3 задачи. после подведения итогов выяснилось, что хотя бы 1 задачу выполнил каждый из участников, 1 и 2 - 11 участников, 2 и 3 - 8 участников, 3 и 1 - 5 участников, а 1, 2 и 3 - 2 участника. Доказать, что хотя бы 1 из задач решили не менее половины участников.

Question

Математика

Сюша

26 августа, 10:16

В олимпиаде принимали участие 46 человек. им было предложено 3 задачи. после подведения итогов выяснилось, что хотя бы 1 задачу выполнил каждый из участников, 1 и 2 - 11 участников, 2 и 3 - 8 участников, 3 и 1 - 5 участников, а 1, 2 и 3 - 2 участника. Доказать, что хотя бы 1 из задач решили не менее половины участников.

+3

Ответы (1)

Знаете ответ?

Юра · Answer 1

Надо доказать, что хотя бы одну задачу решили 23 человека или больше.

все три задачи решили всего двое. вычтем их из числа решивших по две задачи.

только первую и вторую решили 9

только вторую и третью решили 6

только первую и третью решили 5

из числа решивших две задачи первую решили 14, вторую 15, третью 11, всего двухзадачников 20 человек

самая плохая ситуация с третьей задачей. ей среди 24-х однозадачников надо найти 23-2-11=10 человек.

предположим, ей не хватило одного, это самый плохой случай.

итак, 9 однозадачников решили третью, и их осталось 15

далее хуже всего ситуация у первой задачи.

ей не хватает 23-2-14=7 человек.

и снова думаем о плохом - 6 человек решили первую задачу.

что же с последней, второй?

свободных однозадачников осталось 15-6=9 человек

а ей надо 23-2-15=6.

видно, что вторая задача в решена достаточным количеством участников Олимпиады.