Трехзначное натуральное число N с тремя различными цифрами называется

удачным, если оно равно среднему арифметическому всех чисел, полученных из него пере-

становкой цифр. Например, число N = 481 удачно, так как является средним арифметиче-

ским чисел 418, 481, 148, 184, 814 и 841. Найдите наибольшее удачное число. (Для того,

чтобы посчитать среднее арифметическое нескольких чисел, надо сумму этих чисел поде-

лить на их количество.)

Пусть удачное число записывается в виде abc. Тогда сумма всех шести чисел, образованных теми же цифрами, равно

abc + acb + bac + bca + cab + cba = 222 * (a + b + c)

Среднее арифметическое равно 222 * (a + b + c) / 6 = 37 (a + b + c) = 37N. По условию оно равно abc.

N = a + b + c < = 9 + 8 + 7 = 24, при этом большему N соответствует большее число abc. Начинаем перебирать N от большего к меньшим:

N = 24: abc = 37N = 888 - цифры не разные.

N = 23: 37N = 851 - сумма цифр 8 + 5 + 1 = 14, а не 23

N = 22: 37N = 814 - не та сумма цифр

N = 21: 37N = 777 - одинаковые цифры

N = 20: 37N = 740 - не та сумма цифр

N = 19: 37N = 703 - не та сумма цифр

N = 18: 37N = 666 - одинаковые цифры

N = 17: 37N = 629 - подходит!

Ответ. 629.

Обозначим это число N = 100a + 10b + c

Тогда его перестановки: 100a+10b+c; 100a+10c+b; 100b+10a+c;

100b+10c+a; 100c+10a+b; 100c+10b+a.

Их среднее арифметическое:

[ 100 (2a+2b+2c) + 10 (2a+2b+2c) + (2a+2b+2c) ] / 6 = 100a+10b+c

[ 100 (a+b+c) + 10 (a+b+c) + (a+b+c) ] / 3 = 100a+10b+c

111 * (a+b+c) = 3 * (100a+10b+c)

37 * (a+b+c) = 100a + 10b + c

Это число должно делиться на 37. Наибольшее такое число - 629.

(629 + 692 + 269 + 296 + 269 + 296) / 6 = 629